Открытый Колледж http://college.ru
4. Задачи Международной олимпиады школьников по физике за 2002 год Олимпиажы по физике

Назад
N.4. Задачи Международной олимпиады школьников по физике за 2002 год

Теоретический тур


Задача 3. Тяжелая тележка, движущаяся по наклонной дороге.

Условие:

Рисунок 11.
Упрощенная модель массивной тележки, движущейся по наклонной дороге.

Выше на рис. 11 изображена упрощенная модель массивной тележки с одним передним и одним задним цилиндром в качестве колес на наклонной дороге, угол наклона которой равен ?. Каждый цилиндр имеет массу M и состоит из цилиндрического слоя внешнего радиуса R0, и внутреннего радиуса Ri = 0,8R0 и нескольких спиц, суммарная масса которых равна 0,2M. Схематическое изображение цилиндров показано на рис. 12. Массой стержней, поддерживающих платформу тележки, можно пренебречь. Тележка движется вниз под действием сил тяжести и трения. Передняя и задняя части тележки симметричны.

Рисунок 12.
Упрощенная модель цилиндров.

Статический и кинетический коэффициенты трения (коэффициенты трения покоя и трения скольжения) между цилиндрами и дорогой равны μs и μk, соответственно. Однородная платформа тележки имеет массу 5M , длину L и толщину t. Расстояние между осями переднего и заднего цилиндров равно l, а расстояние от центра каждого цилиндра до нижней части тележки равно h. Трением качения и трением в осях цилиндров пренебречь.

Вопросы:

  1. Вычислите момент инерции каждого цилиндра. (1.5 б.).

  2. Изобразите все силы, действующие на платформу тележки, передний и задний цилиндры. Запишите уравнения движения каждой части тележки. (2.5 б.).

  3. Считая, что тележка начинает двигаться из состояния покоя под действием силы тяжести, установите все возможные типы движения системы и найдите ее ускорения во всех этих случаях. Выразите ускорения через физические параметры, заданные в условии задачи. (4.0 б.).

  4. Начав двигаться из состояния покоя, тележка прошла путь d , двигаясь без проскальзывания, а затем попала на участок дороги, на котором статический и кинетический коэффициенты трения уменьшаются до величин и так что дальше оба цилиндра начинают проскальзывать. Вычислите линейную скорость тележки и угловые скорости вращения цилиндров, после того как тележка прошла полный путь s метров. Считайте, что величины d и s значительно больше размеров тележки. (2.0 б.).

Решение:

Рисунок 13.

1.   Момент инерции цилиндра I0 относительно его оси складывается из моментов инерции цилиндрического слоя Ic и моментов инерции спиц Ir:
I0 = Ic + 8Ir

Масса цилиндрического слоя mc и каждой спицы mr соответственно mc = 0,8 M и mr = 0,025 M. Момент инерции цилиндрического слоя:
плотность материала цилиндрического слоя, Vc – объем слоя, а l – длина цилиндра.

объем бесконечно тонкого цилиндрического слоя радиусом r и толщиной dr.

Таким образом,

Момент инерции спицы
где lr = Ri = 0,8 R0 – длина спицы, а масса ед. длины спицы.

Таким образом

Рисунок 14.

2.   Обозначим массу тележки m (m = 5M), а массу каждого из цилиндров На тележку действует сила тяжести а также силы и со стороны переднего и и со стороны заднего цилиндра («front» – передний, «rear» – задний).

II закон Ньютона для тележки:

В проекции на ось X (направления движения):

В проекции на перпендикулярную ось:

Условие отсутствия вращательного движения запишем относительно оси, проходящей че-рез центр тяжести тележки:
где

Рисунок 15.

На каждый из цилиндров действует сила тяжести а также на передний со стороны тележки; на задний со стороны тележки; на передний со стороны дороги; на задний со стороны дороги.

II закон Ньютона для цилиндров:

В проекции на ось x:
mfaf = mfg sinθ + ff – Ff,   mrar = mrg sinθ + fr – Fr.     (4)

В проекции на ось y:
mfg cosθ = Qf · Nf,   mrg cosθ = Qr · Nr.

Заметим, что ускорения поступательного движения всех трех частей системы одинаковы:
a = af = ar.

Вращение цилиндров вокруг своей оси описывается уравнениями:
I0εf = FfR0   (для переднего), I0εr = FfR0   (для заднего).     (6)

3.

  1. Случай чистого качения.

    Ни тот, ни другой цилиндр не проскальзывают, поэтому Ff и Fr – силы трения покоя.

    В этом случае между угловыми и линейными ускорениями существует следующая связь:

    Из уравнения (6):

    Из уравнения (4):

    Подставляем этот результат в уравнение (1)

    Выясним, при каких условиях реализуется этот случай.

    Т. к. и силы трения покоя, то и

    Нагрузка на переднее колесо больше, поэтому Qf > Qr (тот же результат можно получить, рассмотрев уравнения (3) и (5)). Значит, достаточно, чтобы выполнялось условие (мы учли также, что при чистом качении

    Из (2) и (3) уравнений:

    Из (5):

    Следовательно, чистое качение возможно при или

  2. Случай совместного проскальзывания.

    Оба цилиндра проскальзывают, поэтому и силы трения скольжения. В этом случае для каждого из цилиндров можно применить закон сухого трения: и

    Результат решения составленной в пункте 2 системы уравнений ничем не будет отличаться от известного случая соскальзывания доски по наклонной поверхности:

    Этот случай возможен, если силы и необходимые для сообщения угловых ускорений (уравнение (6)) цилиндрам, больше максимального значения сил трения покоя между цилиндрами и дорогой и соответственно.

    Первым начинает проскальзывать задний цилиндр (см. рассуждения в п. 3.1).

    Поэтому условие полного проскальзывания достаточно рассмотреть на примере переднего цилиндра: где a – ускорение системы при условии, когда задний цилиндр уже проскальзывает.

    Найдем это ускорение.

  3. Случай частичного проскальзывания.

    Задний цилиндр проскальзывает сила трения скольжения), а передний нет сила трения покоя). Для движения всей системы вдоль оси X (сложим уравнения (1) и (4) для обоих цилиндров)

    Из уравнений (2) и (3):

    Из уравнения (1):

    Из уравнения (5):

    Таким образом,

    Этот случай возможен, когда (см. п. 3.1 и 3.2)

4.   При движении без проскальзывания:

Рисунок 16.

Скорость, которую приобрела тележка, двигаясь из состояния покоя:

Угловая скорость вращения цилиндров к этому моменту времени:

При движении по второму участку: следовательно,

Время движения на втором участке:

Угловая скорость цилиндров в конце 2-го участка

Угловые ускорения цилиндров и определяются уравнениями (6)

Выражения для сил Qr и Qf можно получить, используя уравнения из п. 2 для случая, описанного в п. 3.2.




Назад
К содержанию

О проекте
 Учебник Учителю Физика в Интернете Олимпиады по физике

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
Тренажеры по физике,  Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн,
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.