Учебник. Движение по окружности



Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения Δ s удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Линейное Δ s и угловое Δφ перемещения при движении тела по окружности

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt: ω= Δφ Δt ;  (Δt0).

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω: υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора υ .

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение a n = Δ υ Δt ;  (Δt0), направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: a n = υ 2 R = ω 2 R.

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости Δ υ = υ B - υ A за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения a = Δ υ Δt ;  (Δt0).

Векторы скоростей υ A и υ B в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υA = υB = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует: | OA | | AB | = | BC | | CD | .

Центростремительное ускорение тела a n при равномерном движении по окружности

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем: R υΔt υ Δυ   или   Δυ Δt υ 2 R .

При малых углах Δφ направление вектора Δ υ = υ B - υ A приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим: a = a n = Δ υ Δt ;  (Δt0) a n = υ 2 R .

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде a n =- ω 2 R , где R – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Равномерное движение по окружности

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1): a τ = Δ υ τ Δt ;  (Δt0).

В этой формуле Δυτ = υ2 – υ1 – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения a = a n + a τ определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Составляющие ускорения a n и a τ при неравномерном движении тела по окружности

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υx и υy (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υx, υy будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T= 2πR υ = 2π ω .

Разложение вектора скорости υ по координатным осям




 

Стоимость устного перевода
Профессиональные переводы с/на китайский язык. Нотариус. Апостиль Срочно
tris.ua
© Физикон, 1999-2015