![]() |
![]() |
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити
При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол
![]() |
Рисунок 2.3.1. Математический маятник. |
Если обозначить через
![]() |
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению
Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на
математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка
отличается от
не более чем на
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
|
Таким образом, тангенциальное ускорение
|
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
|
![]() |
Модель.
Математический маятник
|
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс
Здесь
![]() |
Рисунок 2.3.2. Физический маятник |
Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент
|
Здесь
Следовательно,
|
Более строгий вывод формул для
![]() |
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
|
Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции
Окончательно для круговой частоты
|
![]() |
![]() |
![]() |