Тороидальная катушка, намотанная на магнитный сердечник, содержит N = 200 витков. Радиус витков катушки r = 0,5 см, средний радиус тороидального сердечника R = 5,0 см. Кривая намагничивания материала сердечника (т. е. зависимость магнитной индукции B в сердечнике от намагничивающего поля B0) приведена на рисунке (зеленая кривая).
Аппроксимируя реальную кривую намагничивания с помощью отрезков прямых линий (красная кривая), оцените:
1) индуктивность L катушки при B0 < B0н (т. е. до насыщения сердечника);
2) минимальное значение силы тока Imin в катушке, при котором катушка будет обладать максимальным запасом магнитной энергии;
3) максимальную магнитную энергию (Wм)max, которую можно запасти в катушке.
Решение
По идеализированной кривой намагничивания находим значение намагничивающего поля B0н, при котором возникает насыщение сердечника:
B0н = 2,5 мТл.
На линейном участке B0 < B0н магнитная проницаемость μ материала сердечника постоянна. По графику находим
В условии данной задачи радиус r витков катушки много меньше радиуса R сердечника (r << R). Это означает, что магнитное поле можно приближенно считать однородным по сечению катушки. В этом приближении магнитное поле вычисляется по той же формуле, что и магнитное поле длинной прямой катушки.
Для катушки с сердечником
B = μ0μIn,
где I – ток в катушке, n – число витков на единицу длины обмотки. Для тороидальной катушки n = N / 2πR, где N – полное число витков.
Магнитный поток, пронизывающий все N витков катушки, равен
Отсюда получаем выражение для индуктивности L катушки:
Максимальное значение магнитной индукции в сердечнике равно индукции насыщения Bmax = Bн = 1,2 Тл. Минимальная сила тока, при которой возникает насыщение сердечника, равна
Найдем теперь максимальную энергию катушки:
Следует отметить, что магнитную энергию катушки можно было вычислять, используя понятие объемной плотности магнитной энергии wм, равной
В этом случае максимальная запасенная энергия выражается соотношением
Задачи с решениями
2 из 2
