Учебник. Основные понятия кинематики

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета.

Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени.

В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр, а за единицу времени – секунда.

Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.

Если все части тела движутся одинаково, то такое движение называется поступательным. Поступательно движутся, например, кабины в аттракционе «Колесо обозрения», автомобиль на прямолинейном участке пути и т. д. При поступательном движении тела его также можно рассматривать как материальную точку.

Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называется материальной точкой.

Понятие материальной точки играет важную роль в механике.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x (t), y = y (t), z = z (t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора $\stackrel{⟶}{r}=\stackrel{⟶}{r}\mathrm{(}t\mathrm{)}$ (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1.1.1).

Определение положения точки с помощью координат x = x (t), y = y (t) и z = z (t) и радиус-вектора $\stackrel{⟶}{r}\mathrm{(}t\mathrm{)}$. ${\stackrel{⟶}{r}}_0$ – радиус-вектор положения точки в начальный момент времени

Перемещением тела $\stackrel{⟶}{s}=\Delta \stackrel{⟶}{r}=\stackrel{⟶}{r}-{\stackrel{⟶}{r}}_0$ называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.

В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения $\Delta \stackrel{⟶}{s}\mathrm{.}$ При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.1.2).

Пройденный путь l и вектор перемещения $\stackrel{⟶}{s}$ при криволинейном движении тела. a и b – начальная и конечная точки пути

Для характеристики движения вводится понятие средней скорости: $\stackrel{⟶}{\upsilon }=\frac{\Delta \stackrel{⟶}{s}}{\Delta t}=\frac{\Delta \stackrel{⟶}{r}}{\Delta t}\mathrm{.}$

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени Δt: $\stackrel{⟶}{\upsilon }=\frac{\Delta \stackrel{⟶}{s}}{\Delta t}=\frac{\Delta \stackrel{⟶}{r}}{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

В математике такой предел называют производной и обозначают $\frac{d\stackrel{⟶}{r}}{dt}$ или $\dot{\overrightarrow{r}}$

Мгновенная скорость $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис. 1.1.3.

Средняя и мгновенная скорости. $\Delta {\stackrel{⟶}{s}}_1$, $\Delta {\stackrel{⟶}{s}}_2$, $\Delta {\stackrel{⟶}{s}}_3$ – перемещения за времена $\Delta t_1<\Delta t_2<\Delta t_3$ соответственно. При t → 0 ${\stackrel{⟶}{\upsilon }}_{\mathrm{ср}}\to \stackrel{⟶}{\upsilon }$

При движении тела по криволинейной траектории его скорость $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью вектора $\mathrm{\Delta }\stackrel{⟶}{\upsilon }$ (рис. 1.1.4).

Вектор изменения скорости $\Delta \stackrel{⟶}{\upsilon }={\stackrel{⟶}{\upsilon }}_2-{\stackrel{⟶}{\upsilon }}_1$ за малое время Δt можно разложить на две составляющие: $\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_{\tau }$ направленную вдоль вектора $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ (касательная составляющая), и $\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_n$ направленную перпендикулярно вектору $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ (нормальная составляющая).

Изменение вектора скорости по величине и направлению. $\Delta \stackrel{⟶}{\upsilon }=\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_{\tau }+\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_n$ – изменение вектора скорости за время $\mathrm{\Delta t}$

Мгновенным ускорением (или просто ускорением) $\stackrel{⟶}{a}$ тела называют предел отношения малого изменения скорости $\mathrm{\Delta }\stackrel{⟶}{\upsilon }$ к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости: $\stackrel{⟶}{a}=\frac{\Delta \stackrel{⟶}{\upsilon }}{\Delta t}=\frac{\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_{\mathrm{\tau }}}{\Delta t}+\frac{\Delta {\stackrel{⟶}{\upsilon }}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{t}}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

Направление вектора ускорения $\stackrel{⟶}{a}$ в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ Составляющие вектора ускорения $\stackrel{⟶}{a}$ называют касательным (тангенциальным) ${\stackrel{⟶}{a}}_{\mathrm{\tau }}$ и нормальным ${\stackrel{⟶}{a}}_n$ ускорениями (рис. 1.1.5).

Касательное и нормальное ускорения

Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю: $a_{\tau }=\frac{\Delta \upsilon }{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

Вектор ${\stackrel{⟶}{a}}_{\tau }$ направлен по касательной к траектории.

Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).

Движение по дугам окружностей

Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент: $a_n=\frac{{\upsilon }^2}{R}\mathrm{.}$

Вектор ${\overrightarrow{a}}_n$ всегда направлен к центру окружности (см. §1.6).

Из рис. 1.1.5 видно, что модуль полного ускорения равен $a=\sqrt{a_{\tau }^2+a_n^2}\mathrm{.}$

Таким образом, основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l, перемещение $\overrightarrow{s}$, скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ и ускорение $\overrightarrow{a}$. Путь l является скалярной величиной. Перемещение $\overrightarrow{s}$, скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ и ускорение $\overrightarrow{a}$ – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление. Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т. д.

Вектор и его проекции на координатные оси Сложение и вычитание векторов