Учебник. Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести

По второму закону Ньютона причиной изменения движения, т. е. причиной ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс (рис. 1.10.1). Понятие центра масс тела будет строго определено в § 1.23. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

Гравитационные силы притяжения между телами. ${\overrightarrow{F}}_1=\mathrm{-}\mathrm{ }{\overrightarrow{F}}_2$

В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет (см. §1.24), открытых астрономом И. Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\mathrm{.}$

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной G = 6,67ċ10^–11 Нċм²/кг² (СИ).

Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если M – масса Земли, R_З – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна $F=G\frac{M}{R_{\mathrm{З}}^2}m=mg\mathrm{,}$ где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g=G\frac{M}{R_{\mathrm{З}}^2}.$

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с². Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (R_З = 6,38ċ10⁶ м), можно вычислить массу Земли М: $M=\frac{g{R}_{\mathrm{З}}^2}{G}=\mathrm{5,98}\mathrm{ċ}{10}^{24}\mathrm{ кг.}$

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рис. 1.10.2 иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на космонавта в космическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой космонавт притягивается к Земле вблизи ее поверхности, принята равной 700 Н.

Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли

Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии r_Л = 3,84ċ10⁶ м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли R_З. Следовательно, ускорение свободного падения a_Л, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет $a_{\mathrm{Л}}=g{\left(\frac{R_3}{r_{\mathrm{Л}}}\right)}^2=\frac{\mathrm{9,81}\mathrm{м}\mathrm{/}{\mathrm{с}}^2}{{60}^2}=\mathrm{0,0027 }\mathrm{м}\mathrm{/}{\mathrm{с}}^2\mathrm{.}$

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения (см. §1.6): $a_{\mathrm{Л}}=\frac{{\upsilon }^2}{r_{\mathrm{Л}}}=\frac{4{\pi }^2{r}_{\mathrm{Л}}}{T^2}=\mathrm{0,0027 }\mathrm{м}\mathrm{/}{\mathrm{с}}^2\mathrm{,}$ где T = 27,3 сут – период обращения Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения g_Л на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Поэтому ускорение g_Л определится выражением: $g_{\mathrm{Л}}=G\frac{M_{\mathrm{Л}}}{R_{\mathrm{Л}}^2}=G\frac{M_{\mathrm{З}}}{T_{\mathrm{З}}^2}\frac{{\mathrm{3,7}}^2}{81}=\mathrm{0,17 }g=\mathrm{1,66}\mathrm{м}\mathrm{/}{\mathrm{с}}^2\mathrm{.}$

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим теперь вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Мы рассмотрим здесь только случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу R_З. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ₁. Эту скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим: $a_{\mathrm{n}}=\frac{{\upsilon }_1^2}{R_{\mathrm{З}}}=g\mathrm{; }{\upsilon }_1=\sqrt{g{R}_{\mathrm{З}}}=\mathrm{7,91}\mathrm{ċ}{10}^3\mathrm{ м/с.}$

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время $T_1=\frac{2\pi R_3}{{\upsilon }_1}=\mathrm{84 мин 12 с.}$

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника υ находится из условия $\frac{{\upsilon }^2}{r}=g\frac{R_{\mathrm{З}}^2}{r^2}\mathrm{, }\upsilon =\sqrt{g{R}_{\mathrm{З}}}\sqrt{\frac{R_{\mathrm{З}}}{r}}={\upsilon }_1\sqrt{\frac{R_{\mathrm{З}}}{r}}\mathrm{.}$

Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период T обращения такого спутника равен $T=\frac{2\pi r}{\upsilon }=\frac{2\pi r}{{\upsilon }_{\mathrm{l}}}\sqrt{\frac{r}{R_{\mathrm{З}}}}=\frac{2\pi R_{\mathrm{З}}}{{\upsilon }_1}{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{З}}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=T_1{\left(\frac{r}{R_{\mathrm{З}}}\right)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$

Здесь T₁ – период обращения спутника на околоземной орбите. Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 R_З, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 R_З называется геостационарной.