Учебник. Элементы гидростатики

Основным отличием жидкостей от твердых (упругих) тел является способность легко изменять свою форму. Части жидкости могут свободно сдвигаться, скользя друг относительно друга. Поэтому жидкость принимает форму сосуда, в который она налита. В жидкость, как и в газообразную среду, можно погружать твердые тела. В отличие от газов жидкости практически несжимаемы.

На тело, погруженное в жидкость или газ, действуют силы, распределенные по поверхности тела. Для описания таких распределенных сил вводится новая физическая величина – давление.

Давление определяется как отношение модуля силы $\overrightarrow{F}\mathrm{,}$ действующей перпендикулярно поверхности, к площади S этой поверхности: $p=\frac{F}{S}\mathrm{.}$

В системе СИ давление измеряется в паскалях (Па): 1 Па = 1 Н/м².

Часто используются внесистемные единицы: нормальная атмосфера (атм) и миллиметр ртутного столба (мм Hg): 1 атм = 101325 Па = 760 мм Hg.

Французский ученый Б. Паскаль в середине XVII века эмпирически установил закон, названный законом Паскаля:

Давление в жидкости или газе передается во всех направлениях одинаково и не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Для иллюстрации закона Паскаля на рис. 1.15.1 изображена небольшая прямоугольная призма, погруженная в жидкость. Если предположить, что плотность материала призмы равна плотности жидкости, то призма должна находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия. Это означает, что силы давления, действующие на грани призмы, должны быть уравновешены. Это произойдет только в том случае, если давления, т. е. силы, действующие на единицу площади поверхности каждой грани, одинаковы: p₁ = p₂ = p₃ = p.

Закон Паскаля: p₁ = p₂ = p₃ = p

Давление жидкости на дно или боковые стенки сосуда зависит от высоты столба жидкости. Сила давления на дно цилиндрического сосуда высоты h и площади основания S равна весу столба жидкости mg, где m = ρghS – масса жидкости в сосуде, ρ – плотность жидкости. Следовательно $p=\frac{\rho hSg}{S}=\rho gh\mathrm{.}$

Такое же давление на глубине h в соответствии с законом Паскаля жидкость оказывает и на боковые стенки сосуда. Давление столба жидкости ρgh называют гидростатическим давлением.

Если жидкость находится в цилиндре под поршнем (рис. 1.15.2), то действуя на поршень некоторой внешней силой $\overrightarrow{F}$ можно создавать в жидкости дополнительное давление p₀ = F / S, где S – площадь поршня.

Таким образом, полное давление в жидкости на глубине h можно записать в виде: p = p₀ + ρgh.

Если на рис. 1.15.2 поршень убрать, то давление на поверхность жидкости будет равно атмосферному давлению: p₀ = p_атм.

Зависимость давления от высоты столба жидкости

Из-за разности давлений в жидкости на разных уровнях возникает выталкивающая или архимедова сила ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{A}}\mathrm{.}$

Рис. 1.15.3 поясняет появление архимедовой силы. В жидкость погружено тело в виде прямоугольного параллелепипеда высотой h и площадью основания S. Разность давлений на нижнюю и верхнюю грани есть: Δp = p₂ – p₁ = ρgh.

Поэтому выталкивающая сила ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{A}}$ будет направлена вверх, и ее модуль равен F_А = F₂ – F₁ = SΔp = ρgSh = ρgV, где V – объем вытесненной телом жидкости, а ρV – ее масса.

Архимедова сила, действующая на погруженное в жидкость (или газ) тело, равна весу жидкости (или газа), вытесненной телом. Это утверждение, называемое законом Архимеда, справедливо для тел любой формы.

Архимедова сила. F_А = F₂ – F₁ = S(p₂ – p₁) = ρgSh, F₁ = p₁S, F₂ = p₂S

Из закона Архимеда вытекает, что если средняя плотность тела ρ_т больше плотности жидкости (или газа) ρ, тело будет опускаться на дно. Если же ρ_т < ρ, тело будет плавать на поверхности жидкости. Объем погруженной части тела будет таков, что вес вытесненной жидкости равен весу тела. Для подъема воздушного шара в воздухе его вес должен быть меньше веса вытесненного воздуха. Поэтому воздушные шары заполняют легкими газами (водородом, гелием) или нагретым воздухом.

Из выражения для полного давления в жидкости p = p₀ + ρgh вытекает, что в сообщающихся сосудах любой формы, заполненных однородной жидкостью, давления в любой точке на одном и том же уровне одинаковы (рис. 1.15.4).

Пример сообщающихся сосудов. В правом сосуде поверхность жидкости свободна. На уровне h давление в обоих сосудах одинаково и равно p₀ = F / S = ρgh₀ + p_атм. Давление на дно сосудов p = p₀ + ρgh

Если оба вертикально расположенных цилиндра сообщающихся сосудов закрыть поршнями, то с помощью внешних сил, приложенных к поршням, в жидкости можно создать большое давление p, во много раз превышающее гидростатическое давление ρgh в любой точке системы. Тогда можно считать, что во всей системе устанавливается одинаковое давление p. Если поршни имеют разные площади S₁ и S₂, то на них со стороны жидкости действуют разные силы F₁ = pS₁ и F₂ = pS₂. Такие же по модулю, но противоположно направленные внешние силы должны быть приложены к поршням для удержания системы в равновесии. Таким образом, $\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}\mathrm{ или }{F}_2=F_1\frac{S_2}{S_1}\mathrm{.}$

Если S₂ >> S₁, то F₂ >> F₁. Устройства такого рода называют гидравлическими машинами (рис. 1.15.5). Они позволяют получить значительный выигрыш в силе. Если поршень в узком цилиндре переместить вниз под действием внешней силы $F_1$ на расстояние $h_1\mathrm{,}$ то поршень в широком цилиндре переместится на расстояние $h_2=\frac{S_1}{S_2}{h}_1\mathrm{,}$ поднимая тяжелый груз.

Таким образом, выигрыш в силе в $n=\frac{S_2}{S_1}$ раз обязательно сопровождается таким же проигрышем в расстоянии. При этом произведение силы на расстояние остается неизменным: F₁h₁ = F₂h₂.

Это правило выполняется для любых идеальных машин, в которых не действуют силы трения. Оно называется «золотым правилом механики».

Гидравлическая машина. $p=\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}$

Гидравлические машины, используемые для подъема грузов, называются домкратами. Они широко применяются также в качестве гидравлических прессов. В качестве жидкости обычно используются минеральные масла.