Учебник. Импульс тела

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила $\overrightarrow{F}$ Под действием этой силы скорость тела изменилась на $\Delta \overrightarrow{\upsilon }={\overrightarrow{\upsilon }}_2-{\overrightarrow{\upsilon }}_1\mathrm{.}$ Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением $\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{\upsilon }}{\Delta t}=\frac{{\overrightarrow{\upsilon }}_2-{\overrightarrow{\upsilon }}_1}{\Delta t}\mathrm{.}$

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует: $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{\left({\overrightarrow{\upsilon }}_2-{\overrightarrow{\upsilon }}_1\right)}{\Delta t}\mathrm{ или }\overrightarrow{F}\Delta t=m{\overrightarrow{\upsilon }}_2-m{\overrightarrow{\upsilon }}_1=m\Delta \overrightarrow{\upsilon }=\Delta \left(m\overrightarrow{\upsilon }\right)\mathrm{.}$

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кгċм/с).

Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.

В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.

Обозначив импульс тела буквой $\overrightarrow{p}$ второй закон Ньютона можно записать в виде $\overrightarrow{F}\Delta t=\Delta \overrightarrow{p}\mathrm{.}$

Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила $\overrightarrow{F}$ в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси: F_x Δt = Δp_x; F_y Δt = Δp_y; F_z Δt = Δp_z.

Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ₀ под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести F_т = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела F_тt = mgt = Δp = m (υ – υ₀), откуда υ = υ₀ + gt.

Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы F_ср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.

Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t)

Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δt_i, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δt_i, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δt_i → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале [0; t].

Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t₁ = 0 с до t₂ = 10 с равен: $F_{\mathrm{ср}}\mathrm{(}{t}_2-t_1\mathrm{)}=\frac{1}{2}{F}_{\max }\mathrm{(}{t}_2-t_1\mathrm{)}=\mathrm{100 Н}\mathrm{ċ}\mathrm{с}=\mathrm{100 кг}\mathrm{ċ}\mathrm{м}\mathrm{/}\mathrm{с.}$

В этом простом примере $F_{\mathrm{ср}}=\frac{1}{2}{F}_{\max }=\mathrm{10 Н.}$

В некоторых случаях среднюю силу F_ср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8ċ10^–3 с.

Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть: p = mυ = 12,5 кгċм/с.

Следовательно, средняя сила F_ср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть: $F_{\mathrm{ср}}=\frac{p}{\Delta t}=\mathrm{1,56}\mathrm{ċ}{10}^3\mathrm{ Н.}$

Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.

Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный ${\overrightarrow{p}}_1$ и конечный ${\overrightarrow{p}}_2$ импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса $\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{}}$ удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора ${\overrightarrow{p}}_1$ и ${\overrightarrow{p}}_2$, а также вектор $\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\mathrm{,}$ построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью ${\overrightarrow{\upsilon }}_1$ под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью ${\overrightarrow{\upsilon }}_2$ под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила $\overrightarrow{F}$ направление которой совпадает с направлением вектора $\Delta \overrightarrow{p}\mathrm{.}$

Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов

При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью ${\overrightarrow{\upsilon }}_1=\overrightarrow{\upsilon }$ после отскока мяч будет иметь скорость ${\overrightarrow{\upsilon }}_2=\mathrm{-}\mathrm{ }\overrightarrow{\upsilon }$ Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно $\Delta \overrightarrow{p}=\mathrm{-}2m\overrightarrow{\upsilon }$ В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δp_x = –2mυ_x. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υ_x < 0 и Δp_x > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.