Учебник. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через ${\overrightarrow{F}}_1$ и ${\overrightarrow{F}}_2$ По третьему закону Ньютона ${\overrightarrow{F}}_2=\mathrm{-}{\overrightarrow{F}}_1\mathrm{.}$ Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: ${\overrightarrow{F}}_{2}t=\mathrm{-}{\overrightarrow{F}}_{1}t\mathrm{.}$ Применим к этим телам второй закон Ньютона: ${\overrightarrow{F}}_{1}t=m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1\mathrm{\text{'}}-m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1\mathrm{; }{\overrightarrow{F}}_{2}t=m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2\mathrm{\text{'}}-m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2\mathrm{,}$ где $m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1$ и $m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2$ – импульсы тел в начальный момент времени, $m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1\mathrm{\text{'}}$ и $m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2\mathrm{\text{'}}$ – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует: $m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1+m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2=m_1{\overrightarrow{\upsilon }}_1\mathrm{\text{'}}+m_2{\overrightarrow{\upsilon }}_2\mathrm{\text{'}}\mathrm{.}$

Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился. Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.

Нецентральное соударение шаров разных масс: 1 – импульсы до соударения; 2 – импульсы после соударения; 3 – диаграмма импульсов

Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY. Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов ${\overrightarrow{p}}_1\mathrm{\text{'}}$ и ${\overrightarrow{p}}_2\mathrm{\text{'}}$ импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.

Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.

При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через $\overrightarrow{V}$ и $\overrightarrow{\upsilon }$ а их массы через M и m, то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX $MV+m\upsilon =0\mathrm{; }V=\mathrm{-}\mathrm{ }\frac{m}{M}\upsilon \mathrm{.}$

Отдача при выстреле из орудия

На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью $\overrightarrow{u}$ относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать: $V=\mathrm{-}\mathrm{ }\frac{m}{M}u\mathrm{.}$ где V – скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.

Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.

Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью $\overrightarrow{\upsilon }$ (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью $\overrightarrow{u}$ Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость $\overrightarrow{\upsilon }+\Delta \overrightarrow{\upsilon }$ а ее масса станет равной M + ΔM, где ΔM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна –ΔM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна $\overrightarrow{\upsilon }+\overrightarrow{u}\mathrm{.}$ Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt импульс ракеты равен $\mathrm{(}M+\Delta M\mathrm{)}\mathrm{(}\overrightarrow{\upsilon }+\Delta \overrightarrow{\upsilon }\mathrm{)}\mathrm{,}$ а импульс испущенных газов равен $\mathrm{(}\mathrm{-}\Delta M\mathrm{)}\mathrm{(}\overrightarrow{\upsilon }+\overrightarrow{u}\mathrm{)}\mathrm{.}$ В момент времени t импульс всей системы был равен $M\overrightarrow{\upsilon }$ Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать: $M\overrightarrow{\upsilon }=\mathrm{(}M+\Delta M\mathrm{)}\mathrm{(}\overrightarrow{\upsilon }+\Delta \overrightarrow{\upsilon }\mathrm{)}-\Delta M\mathrm{(}\overrightarrow{\upsilon }+\overrightarrow{u}\mathrm{)}\mathrm{ или }M\Delta \overrightarrow{\upsilon }=\Delta M\overrightarrow{u}-\Delta M\Delta \overrightarrow{\upsilon }\mathrm{.}$

Величиной $\Delta M\Delta \overrightarrow{\upsilon }$ можно пренебречь, так как |ΔM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим $M\frac{\Delta \overrightarrow{\upsilon }}{\Delta t}=\frac{\Delta M}{\Delta t}\overrightarrow{u}\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{ или }M\overrightarrow{a}=\mathrm{-}\mu \overrightarrow{u}\mathrm{.}$

Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 – в момент времени t. Масса ракеты М, ее скорость $\overrightarrow{\upsilon }$ 2 – Ракета в момент времени t + Δt. Масса ракеты M + ΔM, где ΔM < 0, ее скорость $\overrightarrow{\upsilon }+\Delta \overrightarrow{\upsilon }\mathrm{,}$ масса выброшенных газов –ΔM > 0, относительная скорость газов $\overrightarrow{u}$ скорость газов в инерциальной системе $\overrightarrow{\upsilon }+\overrightarrow{u}$

Величина $\mu =\mathrm{-}\frac{\Delta M}{\Delta t}\mathrm{ (}\Delta t\to 0\mathrm{)}$ есть расход топлива в единицу времени. Величина $\mathrm{-}\mu \overrightarrow{u}$ называется реактивной силой тяги ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{р}}$ Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение $M\overrightarrow{a}={\overrightarrow{F}}_{\mathrm{р}}=\mathrm{-}\mu \overrightarrow{u}\mathrm{,}$ выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид: Ma = μu, где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости υ ракеты: $\upsilon =uln\left(\frac{M_0}{M}\right)\mathrm{,}$ где $\frac{M_0}{M}$ – отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ₁ = 7,9ċ10³ м/с при u = 3ċ10³ м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение $\frac{M_0}{M}$ должно быть равно 50.

Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т. д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.