Учебник. Вращение твердого тела

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω $\omega =\frac{\Delta \phi }{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{,}$ и угловое ускорение ε $\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора $\Delta \overrightarrow{s}$ линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением: Δs = rΔφ, где r – модуль радиус-вектора $\overrightarrow{r}$ (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей: υ = rω, и между модулями линейного и углового ускорения: a = a_τ = rε.

Векторы $\overrightarrow{\upsilon }$ и $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_{\tau }$ направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть $a_{\mathrm{n}}=\frac{{\upsilon }^2}{r}={\omega }^{2}r\mathrm{.}$

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей – через υ_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде: $E_{\mathrm{k}}=\sum _i\frac{\Delta m_{}{\upsilon }_i^2}{2}=\sum _i\frac{\Delta m_{}{\mathrm{(}{r}_i\omega \mathrm{)}}^2}{2}=\frac{{\omega }^2}{2}\sum _i\Delta m_i{r}_i^2\mathrm{.}$

Физическая величина $\sum _i\Delta m_i{r}_i^2$ зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси: $I=\sum _i\Delta m_{\mathrm{i}}{r}_{\mathrm{i}}^2\mathrm{.}$

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кгċм²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде $E_{\mathrm{k}}=\frac{I{\omega }^2}{2}\mathrm{.}$

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела $\frac{m{\upsilon }^2}{2}$ только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение x_C, y_C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m₁ и m₂, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x₁, y₁ и x₂, y₂ (рис. 1.23.2), определяется выражениями: $x_C=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2}\mathrm{; }{y}_C=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}\mathrm{.}$

Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид: ${\overrightarrow{r}}_C=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2}{m_1+m_2}\mathrm{.}$

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор ${\overrightarrow{r}}_C$ центра масс определяется выражением ${\overrightarrow{r}}_C=\frac{\sum m_i{\overrightarrow{r}}_i}{\sum m_i}\mathrm{.}$

Для сплошного тела суммы в выражении для ${\overrightarrow{r}}_C$ заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Определение положения центра масс C тела сложной формы. A₁, A₂, A₃ точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия (см. §1.14).

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела: $E_{\mathrm{k}}=\frac{m{\upsilon }_C^2}{2}+\frac{I_C{\omega }^2}{2}\mathrm{,}$ где m – полная масса тела, I_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью ${\overrightarrow{\upsilon }}_C$ и вращения с угловой скоростью $\omega ={\upsilon }_C/R$ относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 1.23.5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 1.23.6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δm_i – некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции: $I_C=\sum \Delta m_i\mathrm{(}{x}_i^2+y_i^2\mathrm{)}\mathrm{,}$ $I_P=\sum \Delta m_i\left|{\mathrm{(}{x}_i-a\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}{y}_i-b\mathrm{)}}^2\right|$

Выражение для I_P можно переписать в виде: $I_P=\sum \Delta m_i\mathrm{(}{x}_i^2+y_i^2\mathrm{)}+\sum \Delta m_i\mathrm{(}{a}^2+b^2\mathrm{)}-2a\sum \Delta m_i{x}_i-2b\sum \Delta m_i{y}_i\mathrm{.}$

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно, I_P = I_C + md², где m – полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Момент инерции

На рис. 1.23.7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Моменты инерции I_C некоторых однородных твердых тел

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 1.23.8 изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Выделим произвольный малый элемент массы Δm_i. На него действуют внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть ${\overrightarrow{F}}_i$ Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую ${\overrightarrow{F}}_{i\mathrm{\tau }}$ и радиальную ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ir}}$ Радиальная составляющая ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ir}}$ создает центростремительное ускорение a_n.

Касательная ${\overrightarrow{F}}_{i\mathrm{\tau }}$ и радиальная ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{ir}}$ составляющие силы ${\overrightarrow{F}}_i$ действующей на элемент Δm_i твердого тела

Касательная составляющая ${\overrightarrow{F}}_{i\mathrm{\tau }}$ вызывает тангенциальное ускорение ${\overrightarrow{a}}_{i\mathrm{\tau }}$ массы Δm_i. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает Δm_ia_iτ = F_iτ = F_i sin θ или Δm_ir_iε = F_i sin θ, где $\epsilon =\frac{a_{i\mathrm{\tau }}}{r_i}$ – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r_i, то мы получим: $\Delta m_i{r}_i^2\epsilon =F_i{r}_{i}sin\theta =F_i{l}_i=M_{\mathrm{i}}.$

Здесь $l_i$ – плечо силы ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{i}}$ $M_i$ – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает: $\sum \Delta m_i{r}_i^2\epsilon =\sum M_i$

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил. $\sum M_{}=\sum \left(M_{i_{\mathrm{внешн}}}\right)+\sum \left(M_{{\mathrm{i}}_{\mathrm{внутр}}}\right)\mathrm{.}$

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге: Iε = M.

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины $\overrightarrow{\omega }$, $\overrightarrow{\epsilon }$, $\overrightarrow{M}$ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела $\overrightarrow{p}$ (см. §1.16). Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L: L = Iω.

Поскольку $\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{,}$ уравнение вращательного движения можно представить в виде: $M=I\epsilon =I\frac{\Delta \omega }{\Delta t}\mathrm{ или }M\Delta t=I\Delta \omega =\Delta L\mathrm{.}$

Окончательно будем иметь: $M=\frac{\Delta L}{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется: ΔL = 0, если M = 0.

Следовательно, L = Iω = const.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 1.23.9).

Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I₁ω₁ = (I₁ + I₂)ω

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 1.23.10).

Качение симметричного тела по наклонной плоскости

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести $m\overrightarrow{g}$ и силы реакции $\overrightarrow{N}$ относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F_трR.

Уравнение вращательного движения: $I_C\epsilon =I_C\frac{a}{R}=M=F_{\mathrm{тр}}R\mathrm{,}$ где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, I_C – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде: ma = mg sin α – F_тр.

Исключая из этих уравнений F_тр, получим окончательно: $a=\frac{mgsin\theta }{\left(\frac{I_C}{R^2}+m\right)}\mathrm{.}$

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара $I_C=\frac{2}{5}m{R}^2\mathrm{,}$ а у сплошного однородного цилиндра $I_C=\frac{1}{2}m{R}^2\mathrm{.}$ Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.