Учебник. Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения $\Delta$ удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Линейное $\Delta$ и угловое $\mathrm{\Delta \phi }$ перемещения при движении тела по окружности

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt: $\omega$

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω: υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора $\overrightarrow{\upsilon }$

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение ${\overrightarrow{a}}_n$ направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: $a_n$

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости $\Delta$ за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения $\overrightarrow{a}$

Векторы скоростей ${\overrightarrow{\upsilon }}_A$ и ${\overrightarrow{\upsilon }}_B$ в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ_A = υ_B = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует: $\frac{\mathrm{|}OA\mathrm{|}}{\mathrm{|}AB\mathrm{|}}$

Центростремительное ускорение тела ${\overrightarrow{a}}_n$ при равномерном движении по окружности

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем: $\frac{R}{\upsilon \Delta t}\approx \frac{\upsilon }{\Delta \upsilon }\mathrm{ или }\frac{\Delta \upsilon }{\Delta t}\approx \frac{{\upsilon }^2}{R}\mathrm{.}$

При малых углах Δφ направление вектора $\Delta \overrightarrow{\upsilon }={\overrightarrow{\upsilon }}_B-{\overrightarrow{\upsilon }}_A$ приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим: $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_n=\frac{\Delta \overrightarrow{\upsilon }}{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{; }{a}_n=\frac{{\upsilon }^2}{R}\mathrm{.}$

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде ${\overrightarrow{a}}_n=\mathrm{-}{\omega }^2\overrightarrow{R}\mathrm{,}$ где $\overrightarrow{R}$ – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1): $a_{\tau }=\frac{\Delta {\upsilon }_{\tau }}{\Delta t}\mathrm{; }\mathrm{(}\Delta t\to 0\mathrm{)}\mathrm{.}$

В этой формуле Δυ_τ = υ₂ – υ₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_n+{\overrightarrow{a}}_{\tau }$ определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Составляющие ускорения ${\overrightarrow{a}}_n$ и ${\overrightarrow{a}}_{\tau }$ при неравномерном движении тела по окружности

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ_x и υ_y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υ_x, υ_y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом $T=\frac{2\pi R}{\upsilon }=\frac{2\pi }{\omega }\mathrm{.}$

Разложение вектора скорости $\overrightarrow{\upsilon }$ по координатным осям