Учебник. Свободные колебания. Пружинный маятник

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1): F (t) = ma (t) = –m ω² x (t).

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука: F_упр = –kx.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Колебания груза на пружине. Трения нет

Круговая частота ω₀ свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона: $ma=\mathrm{-}kx=m{\omega }_0^{2}x\mathrm{,}$ откуда ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\mathrm{.}$

Частота ω₀ называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\mathrm{.}$

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, равную $x_0=\frac{mg}{k}\mathrm{,}$ и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω₀ и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t: $a\mathrm{(}t\mathrm{)}=\stackrel{ċċ}{x}\mathrm{(}t\mathrm{)}\mathrm{.}$

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде $ma=m\stackrel{ċċ}{x}=\mathrm{-}kx\mathrm{,}$ или $\stackrel{ċċ}{x}+{\omega }_0^{2}x=\mathrm{0,}$ где ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида x = x_m cos (ωt + φ₀).

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ или период T. Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда x_m и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то x_m = Δl, φ₀ = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость $\mathrm{\pm }{\upsilon }_0$ то $x_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{m}{k}}{\upsilon }_0$, ${\phi }_0=\mathrm{\pm }\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$

Таким образом, амплитуда x_m свободных колебаний и его начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями.

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил M_упр упругой деформации кручения: M_упр = –χθ.

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23) $I\epsilon =M_{\mathrm{упр}}=-\chi \theta \mathrm{ или }I\stackrel{ċċ}{\theta }=\mathrm{-}\chi \theta \mathrm{,}$ где I = I_C – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{\chi }{I}}\mathrm{, }T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\chi }}\mathrm{.}$

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Крутильный маятник