Учебник. Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести $m\overrightarrow{g}$ уравновешивается силой натяжения нити ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{упр}}$ При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F_τ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает: $m{a}_{\tau }=F_{\tau }=\mathrm{-}mgsin\frac{x}{l}\mathrm{.}$

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а $\sin \mathrm{ }\frac{x}{l}\mathrm{.}$

Только в случае малых колебаний, когда приближенно $\mathrm{sin }\frac{x}{l}$ можно заменить на $\frac{x}{l}$ математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина $\mathrm{sin }\frac{x}{l}$ отличается от $\frac{x}{l}$ не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде $m{a}_{\tau }=\mathrm{-}m\frac{g}{l}x\mathrm{.}$

Таким образом, тангенциальное ускорение a_τ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты: ${\omega }_0^2=\frac{g}{l}\mathrm{; }{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\mathrm{.}$

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Следовательно, $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\mathrm{.}$

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия: M = –(mg sin φ) d.

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Физический маятник

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ. Это означает, что только при малых углах φ, когда sin φ ≈ φ, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний M = –m g dφ. и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид (см. §1.23) I ε = M = –m g dφ. где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты: ${\omega }_0^2=\frac{mgd}{I}\mathrm{ или }{\omega }_0=\sqrt{\frac{mgd}{I}}.$

Здесь ω₀ – собственная частота малых колебаний физического маятника.

Следовательно, $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}\mathrm{.}$

Более строгий вывод формул для ω₀ и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени: $\epsilon \mathrm{(}t\mathrm{)}=\stackrel{ċċ}{\phi }\mathrm{(}t\mathrm{)}\mathrm{.}$

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде $\stackrel{ċċ}{\phi }+\frac{mgd}{I}\phi =0.$

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент $\frac{mgd}{I}$ в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения: I = I_C + md².

Окончательно для круговой частоты ω₀ свободных колебаний физического маятника получается выражение: ${\omega }_0=\sqrt{\frac{mgd}{I_C+m{d}^2}}\mathrm{.}$