Учебник. Электроемкость. Конденсаторы

Если двум изолированным друг от друга проводникам сообщить заряды q₁ и q₂, то между ними возникает некоторая разность потенциалов Δφ, зависящая от величин зарядов и геометрии проводников. Разность потенциалов Δφ между двумя точками в электрическом поле часто называют напряжением и обозначают буквой U. Наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: q₁ = – q₂ = q. В этом случае можно ввести понятие электрической емкости.

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними: $C=\frac{q}{\Delta \phi }=\frac{q}{U}\mathrm{.}$

В системе СИ единица электроемкости называется фарад (Ф): $1\mathrm{Ф}=\frac{1\mathrm{Кл}}{1\mathrm{В}}\mathrm{.}$

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, – обкладками.

Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис. 1.6.1); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач приближенно можно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 1.6.2). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля (см. § 1.4).

Поле плоского конденсатора

Идеализированное представление поля плоского конденсатора. Такое поле не обладает свойством потенциальности

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением (см. § 1.3) $E_1=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\mathrm{.}$

Согласно принципу суперпозиции, напряженность $\overrightarrow{E}$ поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей $\overrightarrow{E^{\mathrm{+}}}$ и $\overrightarrow{E^{\mathrm{-}}}$ полей каждой из пластин: $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E^{\mathrm{+}}}+\overrightarrow{E^{\mathrm{-}}}\mathrm{.}$

Внутри конденсатора вектора $\overrightarrow{E^{\mathrm{+}}}$ и $\overrightarrow{E^{\mathrm{-}}}$ параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен $E=2E_1=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\mathrm{.}$

Вне пластин вектора $\overrightarrow{E^{\mathrm{+}}}$ и $\overrightarrow{E^{\mathrm{-}}}$ направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора: $C=\frac{q}{\Delta \phi }=\frac{\sigma ċS}{Eċd}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}\mathrm{.}$

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз: $C=\frac{\epsilon {\epsilon }_{0}S}{d}\mathrm{.}$

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы. Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R₁ и R₂. Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R₁ и R₂ и длины L. Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:

$C=4\pi {\epsilon }_0\epsilon \frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}\mathrm{ }$(сферический конденсатор),
$C=2\pi {\epsilon }_0\epsilon \frac{L}{ln{R}_2/R_1}\mathrm{ }$(цилиндрический конденсатор).

Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 1.6.3) напряжения на конденсаторах одинаковы: U₁ = U₂ = U, а заряды равны q₁ = С₁U и q₂ = C₂U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q₁ + q₂ при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует $C=\frac{q_1+q_2}{U}\mathrm{ или }C=C_1+C_2\mathrm{.}$

Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

Параллельное соединение конденсаторов. C = C₁ + C₂

Последовательное соединение конденсаторов. $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\mathrm{.}$

При последовательном соединении (рис. 1.6.4) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q₁ = q₂ = q, а напряжения на них равны $U_1=\frac{q}{C_1}$ и $U_2=\frac{q}{C_2}\mathrm{.}$ Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂. Следовательно, $C=\frac{q}{U_1+U_2}\mathrm{ или }\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\mathrm{.}$

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.