Учебник. RLC-контур. Свободные колебания

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 2.2.1).

Последовательный RLC-контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения ℰ. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде $JR+U=\mathrm{-}L\frac{dJ}{dt}\mathrm{,}$ где $U=\frac{q}{C}$ – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, $J=\frac{dq}{dt}$ – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду: $\stackrel{ċċ}{q}+\frac{R}{L}\dot{q}+\frac{1}{LC}q=0\mathrm{.}$

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда $\stackrel{ċċ}{q}+{\omega }_0^{2}q=0\mathrm{.}$

Здесь принято обозначение: ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}\mathrm{.}$ Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 2.2.2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока J (t) и скорости груза υ (t) за один период $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ колебаний.

Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону q(t) = q₀ cos(ωt + φ₀).

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\mathrm{.}$

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переключения ключа K в положение 2, q₀ = Cℰ, φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной: $W=W_{\mathrm{э}}+W_{\mathrm{м}}=\frac{q^2}{2C}+\frac{L{J}^2}{2}=\mathrm{const.}$

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).

Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид $\stackrel{ċċ}{q}+2\delta \dot{q}+{\omega }_0^{2}q=0$

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция $q\mathrm{ (}t\mathrm{)}=q_0{e}^{\mathrm{-}\delta t}cos\mathrm{(}\omega t+{\phi }_0\mathrm{)}\mathrm{,}$ которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени $\tau =\frac{1}{\delta }\mathrm{,}$ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной системы: $Q=\pi N=\pi \frac{\tau }{T}\mathrm{,}$ где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение: $Q=2\pi \frac{\mathrm{Запас энергии в колебательной системе}}{\mathrm{Потеря энергии за 1 период}}\mathrm{.}$

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой $Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\mathrm{.}$

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.