Учебник. Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность

В § 2.3 были выведены соотношения, связывающие амплитуды переменных токов и напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности: $R{I}_R=U_R\mathrm{; }\frac{1}{\omega C}{I}_C=U_C\mathrm{; }\omega L{I}_L=U_L\mathrm{.}$

Эти соотношения во виду напоминают закон Ома для участка цепи постоянного тока, но только теперь в них входят не значения постоянных токов и напряжений на участке цепи, а амплитудные значения переменных токов и напряжений.

Соотношения (*) выражают закон Ома для участка цепи переменного тока, содержащего один из элементов R, L и C. Физические величины R, $\frac{1}{\omega C}$ и ωL называются активным сопротивлением резистора, емкостным сопротивлением конденсатора и индуктивным сопротивлением катушки.

При протекании переменного тока по участку цепи электромагнитное поле совершает работу, и в цепи выделяется джоулево тепло. Мгновенная мощность в цепи переменного тока равна произведению мгновенных значений тока и напряжения: p = J ċ u. Практический интерес представляет среднее за период переменного тока значение мощности $P=P_{\mathrm{ср}}=I_0{\mathrm{ U}}_0\stackrel{\¯}{cos\omega tcos\left(\omega t+\phi \right)}\mathrm{.}$

Здесь I₀ и U₀ – амплитудные значения тока и напряжения на данном участке цепи, φ – фазовый сдвиг между током и напряжением. Черта означает знак усреднения. Если участок цепи содержит только резистор с сопротивлением R, то фазовый сдвиг φ = 0: $P_R=I_R{U}_R\stackrel{\¯}{{cos}^2\omega t}=\frac{I_R{U}_R}{2}=\frac{I_R^{2}R}{2}\mathrm{.}$

Для того, чтобы это выражение по виду совпадало с формулой для мощности постоянного тока, вводятся понятия действующих или эффективных значений силы тока и напряжения: $I_{\mathrm{д}}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}\mathrm{; }{U}_{\mathrm{д}}=\frac{U_0}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$

Средняя мощность переменного тока на участке цепи, содержащем резистор, равна $P_R=I_{\mathrm{д}}{U}_{\mathrm{д}}\mathrm{.}$

Если участок цепи содержит только конденсатор емкости C, то фазовый сдвиг между током и напряжением $\phi =\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$ Поэтому $P_C=I_C{U}_C\stackrel{\¯}{cos\omega tcos\left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)}=I_C{U}_C\stackrel{\¯}{cos\omega t\left(\mathrm{ -}\mathrm{sin }\omega t\right)}=0.$

Аналогично можно показать, что P_L = 0.

Таким образом, мощность в цепи переменного тока выделяется только на активном сопротивлении. Средняя мощность переменного тока на конденсаторе и катушке индуктивности равна нулю.

Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки. Цепь подключена к источнику переменного тока частоты ω. На всех последовательно соединенных участках цепи протекает один и тот же ток. Между напряжением внешнего источника e (t) и током J (t) возникает фазовый сдвиг на некоторый угол φ. Поэтому можно записать J (t) = I₀ cos ωt;   e (t) = ℰ₀ cos (ωt + φ).

Такая запись мгновенных значений тока и напряжения соответствует построениям на векторной диаграмме (рис. 2.3.2). Средняя мощность, развиваемая источником переменного тока, равна $P=I_0{ℰ}_0\stackrel{\¯}{cos\omega tcos\left(\omega t+\phi \right)}=\frac{I_0{ℰ}_0}{2}cos\phi =I_{\mathrm{д}}{ℰ}_{\mathrm{д}}cos\phi \mathrm{.}$

Как видно из векторной диаграммы, U_R = ℰ₀ · cos φ, поэтому $P=\frac{I_0{U}_R}{2}\mathrm{.}$ Следовательно, вся мощность, развиваемая источником, выделяется в виде джоулева тепла на резисторе, что подтверждает сделанный ранее вывод.

В § 2.3 было выведено соотношение между амплитудами тока I₀ и напряжения ℰ₀ для последовательной RLC-цепи: $I_0=\frac{{ℰ}_0}{\sqrt{R^2+{\mathrm{(}\omega L-\frac{1}{\omega C}\mathrm{)}}^2}}\mathrm{.}$

Величину $Z=\sqrt{R^2+{\mathrm{(}\omega L-\frac{1}{\omega C}\mathrm{)}}^2}$ называют полным сопротивлением цепи переменного тока. Формулу, выражающую связь между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи, можно записать в виде ZI₀ = ℰ₀.

Это соотношение называют законом Ома для цепи переменного тока. Формулы (*), приведенные в начале этого параграфа, выражают частные случаи закона Ома (**).

Понятие полного сопротивления играет важную роль при расчетах цепей переменного тока. Для определения полного сопротивления цепи во многих случаях удобно использовать наглядный метод векторных диаграмм. Рассмотрим в качестве примера параллельный RLC-контур, подключенный к внешнему источнику переменного тока (рис. 2.4.1).

Параллельный RLC-контур

При построении векторной диаграммы следует учесть, что при параллельном соединении напряжение на всех элементах R, C и L одно и то же и равно напряжению внешнего источника. Токи, текущие в разных ветвях цепи, отличаются не только по значениям амплитуд, но и по фазовым сдвигам относительно приложенного напряжения. Поэтому полное сопротивление цепи нельзя вычислить по законам параллельного соединения цепей постоянного тока. Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура изображена на рис. 2.4.2.

Векторная диаграмма для параллельного RLC-контура

Из диаграммы следует: $I_0={\mathrm{ℰ}}_0\sqrt{{\mathrm{(}\frac{1}{R}\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}\omega L-\frac{1}{\omega C}\mathrm{)}}^2}\mathrm{.}$

Поэтому полное сопротивление параллельного RLC-контура выражается соотношением $Z=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{(}\frac{1}{R}\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}\omega L-\frac{1}{\omega C}\mathrm{)}}^2}}\mathrm{.}$

При параллельном резонансе (ω² = 1 / LC) полное сопротивление цепи принимает максимальное значение, равное активному сопротивлению резистора: Z = Z_max = R.

Фазовый сдвиг φ между током и напряжением при параллельном резонансе равен нулю.