Учебник. Преобразования Лоренца *)

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t' этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид: K' → K                K → K'
$\begin{array}{l}\begin{array}{cc}\{\begin{array}{l}x=\frac{x\text{'}+\upsilon t\text{'}}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{,}\\ y=y\text{'}\mathrm{,}\\ z=z\text{'}\mathrm{,}\\ t=\frac{t\text{'}+\upsilon x\text{'}/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{;}\end{array}& \{\begin{array}{l}x\text{'}=\frac{x-\upsilon t}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{,}\\ y\text{'}=y\mathrm{,}\\ z\text{'}=z\mathrm{,}\\ t\text{'}=\frac{t-\upsilon x/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{;}\end{array}\end{array}\end{array}$
β = υ / c.

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ₀ = t'₂ – t'₁ (собственное время), где t'₁ и t'₂ – показания часов в системе K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна $\tau =t_2-t_1=\frac{t{\text{'}}_2+\upsilon x\text{'}/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}-\frac{t{\text{'}}_1+\upsilon x\text{'}/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{t{\text{'}}_2-t{\text{'}}_1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\frac{{\tau }_0}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{.}$

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'₁ ≠ x'₂) одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'₁ = t'₂ = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь $x_1=\frac{x{\text{'}}_1+\upsilon t\text{'}}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{, }{x}_2=\frac{x{\text{'}}_2+\upsilon t\text{'}}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\Rightarrow x_1\ne x_2\mathrm{,}$
$t_1=\frac{t\text{'}+\upsilon x{\text{'}}_1/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\mathrm{, }{x}_2=\frac{t\text{'}+\upsilon x{\text{'}}_2/c^2}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\Rightarrow t_1\ne t_2\mathrm{.}$

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности t₂ – t₁ определяется знаком выражения υ(x'₂ – x'₁), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K' вдоль оси x' неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 4.4.1(a)), система K' движется вдоль оси x системы K со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K' дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t'. Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью υ так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.4.1(b)).

Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K' (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением: $s_{12}=\sqrt{c^2{t}_{12}^2-l_{12}^2}\mathrm{,}$ где t₁₂ – промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а l₁₂ – расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат (x₁ = y₁ = z₁ = 0) системы отсчета в момент времени t₁ = 0, а второе – в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде $s=\sqrt{c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2}\mathrm{.}$

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t = 0, а второе – приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 4.1.3), то x² + y² + z² = c²t², и, следовательно, интервал для этой пары событий s = 0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю, так как $x{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{ 2}}+y{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{ 2}}+z{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{ 2}}=c^{2}t{\mathrm{\text{'}}}^{\mathrm{ 2}}$

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K' вдоль оси x' движется частица со скоростью $u{\text{'}}_x=\frac{dx\text{'}}{dt\text{'}}\mathrm{.}$ Составляющие скорости частицы u'_x и u'_z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна $u_x=\frac{dx}{dt}\mathrm{.}$

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти: $u_x=\frac{u{\text{'}}_x+\upsilon }{1+\frac{\upsilon }{c^2}u{\text{'}}_x}\mathrm{, }{u}_y=\mathrm{0, }{u}_z=0.$

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости $\stackrel{⟶}{\upsilon }$ систем отсчета K и K'.

При υ << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики: u_x = u'_x + υ,  u_y = 0,  u_z = 0.

Если в системе K' вдоль оси x' со скоростью u'_x = c распространяется световой импульс, то для скорости u_x импульса в системе K получим $u_x=\frac{c+\upsilon }{1+\upsilon /c}=c\mathrm{, }{u}_y=\mathrm{0, }{u}_z=0.$

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света.