Учебник. Превращения энергии при свободных механических колебаниях

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине (см. §2.2): $E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}\mathrm{, }{\omega }_0^2=\frac{k}{m}\mathrm{,}$ ${\mathrm{(}{E}_{\mathrm{p}}\mathrm{)}}_{\max }=\frac{k{x}_{\mathrm{m}}^2}{2}\mathrm{, }{\mathrm{(}{E}_{\mathrm{k}}\mathrm{)}}_{\max }=\frac{m{\upsilon }_{\mathrm{m}}^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{x}_{\mathrm{m}}^2}{2}={\mathrm{(}{E}_{\mathrm{p}}\mathrm{)}}_{\max }\mathrm{.}$

Для малых колебаний математического маятника (см. §2.3): $E=E_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{p}}=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+mgh=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+\frac{mg{x}^2}{2l}\mathrm{, }{\omega }_0^2=\frac{g}{l}\mathrm{, }$ ${\mathrm{(}{E}_{\mathrm{p}}\mathrm{)}}_{\max }=mg{h}_{\mathrm{m}}=\frac{mg{x}_{\mathrm{m}}^2}{2l}\mathrm{, }{\mathrm{(}{E}_{\mathrm{k}}\mathrm{)}}_{\max }=\frac{m{\upsilon }_{\mathrm{m}}^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{x}_{\mathrm{m}}^2}{2}={\mathrm{(}{E}_{\mathrm{p}}\mathrm{)}}_{\max }\mathrm{.}$

Здесь h_m – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, x_m и υ_m = ω₀x_m – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение x (t) груза из положения равновесия и его скорость υ (t) изменяются со временем по законам: $x\mathrm{(}t\mathrm{)}=x_{\mathrm{m}}cos\mathrm{(}{\omega }_{0}t\mathrm{)}\mathrm{, где }{\omega }_0^2=\frac{k}{m}\mathrm{,}$ υ (t) = –ωx_m sin (ω₀t).

Следовательно, $E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}t\mathrm{)}=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{x}_{\mathrm{m}}^2{\mathrm{ cos}}^2{\mathrm{ \omega }}_{0}t=\frac{1}{4}k{x}_{\mathrm{m}}^2\mathrm{(}1+\mathrm{cos }2{\omega }_{0}t\mathrm{)}\mathrm{,}$ $E_{\mathrm{k}}\mathrm{(}t\mathrm{)}=\frac{1}{2}m{\upsilon }^2=\frac{1}{2}k{\omega }_0^2{x}_{\mathrm{m}}^2{\mathrm{ sin}}^2{\mathrm{ \omega }}_{0}t=\frac{1}{4}k{x}_{\mathrm{m}}^2\mathrm{(}1-\mathrm{cos }2{\omega }_{0}t\mathrm{)}\mathrm{.}$

На рис. 2.4.1 изображены графики функций E_p(t) и E_k(t). Потенциальная и кинетическая энергии за период колебаний $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ два раза достигают максимальных значений. Сумма $E_{\mathrm{p}}\mathrm{(}t\mathrm{)}+E_{\mathrm{k}}\mathrm{(}t\mathrm{)}=E=\mathrm{const}$ остается неизменной.

Превращения энергии при свободных колебаниях

В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

Затухающие колебания

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания.

Частота свободных колебаний зависит от скорости их затухания. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания затухают быстро.

Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π: $Q=\pi N=\pi \frac{\tau }{T}\mathrm{.}$

Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы, определенная по затуханию колебаний на рис. 2.4.2, приблизительно равна 15.

Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч.

Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением: $Q=2\pi \frac{\mathrm{Запас энергии в колебательной системе}}{\mathrm{Потеря энергии за 1 период колебаний}}\mathrm{.}$

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.